Prinsip Cavalieri

Pada kesempatan kali ini akan dibahas mengenai bagaimana cara menemukan rumus volume suatu bola. Dalam pembahasan kali ini akan digunakan suatu konsep yang dinamakan Prinsip Cavalieri. Prinsip Cavalieri menyatakan bahwa,

Jika dua bangun ruang memiliki luas bidang irisan yang sama jika diiris pada ketinggian yang sama, maka kedua bangun ruang tersebut memiliki volume yang sama.

Dengan menggunakan prinsip ini, akan didemonstrasikan bahwa kedua bangun ruang di bawah ini memiliki volume yang sama.

Setengah bola memiliki jari-jari r. Bangun ruang di sebelah kanan adalah suatu tabung yang memiliki tinggi r dan jari-jari r yang dipotong oleh kerucut dengan tinggi r dan jari-jari r. Akan didemonstrasikan bahwa jika kedua bangun ruang di atas diiris pada ketinggian yang sama, bidang irisannya akan memiliki luas yang sama. Kemudian akan digunakan Prinsip Cavalieri untuk menunjukkan bahwa kedua bangun ruang di atas memiliki volume yang sama. Pada pembahasan kali ini, pembaca dianggap telah mengetahui rumus untuk menghitung volume tabung dan kerucut. Dengan demikian, volume “tabung dikurangi kerucut” di atas dapat dihitung. Setengah bola di atas seharusnya memiliki volume yang sama dengan “tabung dikurangi kerucut”. Bingung? Mari kita bahas secara lebih dalam.

Gambar sebelah kiri pada gambar di bawah ini merupakan suatu setengah bola yang memiliki jari-jari 15 cm. Kemudian setengah bola tersebut diiris dengan ketinggian 9 cm dari bawah dan menghasilkan bidang irisan yang berbentuk lingkaran. Di sebelah kanan setengah bola adalah suatu tabung yang memiliki tinggi 15 cm dan jari-jari 15 cm yang dipotong oleh kerucut yang memiliki tinggi 15 cm dan jari-jari 15 cm. Bangun ruang ini juga diiris dari ketinggian 9 cm dan menghasilkan suatu bidang irisan berbentuk menyerupai cincin.

Untuk menghitung nilai x pada gambar di atas, digunakan Teorema Pythagoras:

x2 + 92 x2 x2 x2 x

= 152 = 152 – 92 = 225 – 81 = 144 = 12

Sehingga luas dari bidang irisan lingkaran adalah,

L_lingkaran = πr² = π(12)² = 144π

Kemudian akan dihitung luas bidang irisan cincin pada gambar kanan di atas. Karena tinggi dan jari-jari kerucut adalah sama, maka segitiga siku-siku besar di atas adalah segitiga sama kaki. Demikian juga dengan segitiga siku-siku yang kecil. Sehingga diperoleh y = 9.

L_cincin = πR² – πr² = π(15²) – π(9²) = π(225 – 81) = 144π

Pada penghitungan di atas menunjukkan bahwa kedua bidang irisan di atas memiliki luas yang sama.

Latihan

1. Suatu setengah bola yang berjari-jari 15 cm diiris dari ketinggian 12 cm. Tentukan luas bidang irisan yang terbentuk.
2. Suatu “tabung dikurangi kerucut” yang memiliki tinggi dan jari-jari 15 cm diiris dari ketinggian 12 cm. Tentukan luas bidang irisan yang terbentuk.

Pada pembahasan sebelumnya ditunjukkan bahwa dua bidang irisan dari dua bangun datar setengah bola dan “tabung dikurangi kerucut” memiliki luas yang sama jika diiris dengan ketinggian 9 cm dari alas. Pada latihan, juga ditunjukkan bahwa kedua bidang irisan pada soal nomor 1 dan 2 memiliki luas bidang irisan yang sama. Kemudian logis jika muncul suatu dugaan bahwa bidang irisan dari setengah bola dan “tabung dikurangi kerucut” memiliki luas yang sama apabila diiris dari ketinggian yang sama. Untuk mendemonstrasikan bahwa setengah lingkaran dengan jari-jari r dan “tabung dikurangi kerucut” yang memiliki tinggi dan jari-jari r, memiliki luas bidang irisan yang sama jika diiris dengan sebarang ketinggian h dari alas, akan ditemukan luas bidang irisan dari masing-masing bangun ruang tersebut dari ketinggian h.

Luas dari bidang irisan yang berbentuk lingkaran adalah πx2. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh x2 + h2 = r2. Sehingga x2 = (r2 – h2). Dengan sedikit perhitungan aljabar, diperoleh luas bidang irisan lingkaran adalah π(r2 – h2).

Luas dari bidang cincin adalah πr2 – πy2. Akan tetapi, karena x dan y adalah kaki-kaki dari segitiga sama kaki, maka y = x. Sehingga diperoleh luas cincin adalah π(r2) – π(h2). Dengan pemfaktoran diperoleh, π(r2 – h2)

Karena dipilih sebarang tinggi, dan kedua bidang irisan di atas memiliki luas π(r² – h²), maka kedua bangun ruang di atas (setengah bola dan “tabung dikurangi kerucut”) memiliki volume yang sama, berdasarkan Prinsip Cavalieri.

Volume dari “tabung dikurangi kerucut” dapat dihitung dengan mengurangkan volume tabung dengan volume kerucut. Volume yang diperoleh sama dengan volume setengah lingkaran.

Vtabung

= A x t = (πr2)r = πr3

Vkerucut

= (1/3)A x t = (1/3)(πr2)r = (1/3)πr3

Sehingga, volume dari “tabung dikurangi kerucut” adalah πr³ – (1/3)πr³ atau (2/3)πr³. Dengan menggunakan Prinsip Cavalieri, setengah bola juga memiliki volume (2/3)πr³. Karena volume bola adalah dua kali volume setengah bola, maka dapat diperoleh volume bola. Nyatakan kesimpulanmu pada konjektur berikut ini

Belajar dari film "Everest"

It’s the attitude not the altitude – Scott Fischer

Makna hidup?

Setelah menonton film “Everest” banyak hal yang awalnya saya tidak menyadari dan saya dapatkan. Kebanyakan orang termasuk saya berpikir dalam menggapai sesuatu yang diinginkan kita harus bisa mendapatkannya secara mutlak bagaimanapun caranya tanpa memikirkan sisi-sisi yang lain . Seperti yang terlihat dalam film Everest para pendaki hanya memikirkan bagaimana cara menuju puncak tanpa memikirkan bahaya yang akan terjadi. Seperti pendaki yang bernama Doug Hansen yang menyadari bahwa fisiknya sudah tidak kuat dan telah disarankan oleh Rob Hall untuk tidak melanjutkan perjalanan. Rob Hall merupakan pemandu pendakian gunung Everest yang juga peduli terhadap kebersihan wisata gunung Everest. Doug tetap nekat untuk melanjutkan perjalanan dan pada akhirnya mencapai puncak. Namun pada saat perjalanan turun ia kehabisan oksigen. Rob dengan rasa bertanggung jawab menolong Doug supaya ia tidak meninggal dalam perjalanan. Namun sayangnya badai besar menghampiri mereka saat Rob berusaha membantu Doug turun dan mencari pertolongan. Pada akhirnya mereka meninggal karena kehabisan oksigen dan kedinginan. Nah dari sini saya mendapatkan hal yang baru bukan soal puncak tetapi sikap untuk mencapai puncak. Saya pernah merasakan bagaimana rasanya mendaki gunung. Saya awalnya menganggap hal itu mudah saya hanya menyiapkan minum yang cukup. Tapi ternyata hal itu tidak semudah naik tangga. Kita harus benar-benar menyiapkan fisik dan mental yang kuat. Nah dari situlah saya menyadari bahwa untuk mencapai sesuatu yang kita inginkan itu harus benar-benar menyiapkan segalanya. Tidak hanya semangat tetapi segala resiko yang ada harus juga kita ketahui. Apabila kita tidak bisa mendapatkan sesuatu puncak/tujuan yang kita inginkan, kita jangan memaksakan diri kita untuk mencapai tujuan yang kita ingin sampai harus mengorbankan nyawa kita. Kita  harus menyadari batasan yang kita miliki. Dalam mencapai tujuan itu juga kita tidak mencapainya senidiri. Kita sangat butuh bantuan orang lain. Kita jangan memaksakan ego dan rasa gengsi kita untuk mencapai tujuan yang tidak pernah dicapai orang lain. Jika kita memaksakan ego kita, kita hanya mencelakakan diri kita bahkan orang lain di sekitar kita. Maka dari itu saya memaknai hidup bukan untuk mencapai puncak tertinggi dalam hidup kita tetapi bagaimana kita melawan ego kita untuk mencapai puncak dengan melihat kondisi yang ada dan mencari puncak yang lain. Karena hidup bukan untuk satu tujuan tetapi banyak tujuan. Selain itu hidup kita juga bukan untuk diri kita sendiri tetapi hidup kita juga untuk orang lain. Kita sebagai manusia tidak bisa hidup sendiri melainkan hidup butuh pertolongan orang lain.

Kenapa manusia kalah dengan alam(gunung)?

Ada teori yang mengatakan bahwa manusia yang berhak untuk melestarikan dan menggunakan segala kekayaan alam dengan kata lain manusia lebih tinggi kedudukan daripada. Tapi setelah menonton film Everest hal itu salah. Jika kita dibandingkan dengan alam salah satunya gunung kita tidak ada apa-apanya. Bagi gunung  kita hanyalah debu yang mengotori gunung itu sendiri. Dalam film “Everest” pendaki kalah dengan alam(gunung). Kenapa hal itu bisa terjadi? Padahal dibanyak kesempatan manusia selalu bisa mengatasi alam. Menurut saya sikap manusia lah yang membuat manusia itu kalah. Kita menganggap diri kita itu diatas segalanya padahal kita hanya dibawah dari alam. Sebagai contoh gunung bisa tetap berdiri kokoh walaupun diterpa badai ataupun dirusak oleh manusia tetapi sebaliknya manusia tidak akan mampu tetap berdiri jika diterpa badai atau permasalahan yang lain. Nah sikap manusia yang sombong dan ego yang tinggi itulah yang membuat manusia itu lupa bahwa kita memiliki banyak kekurangan. Kita lupa bahwa dalam menghadapi alam kita harus benar-benar  menyiapkan segalannya. Kita harus juga menyadari kelemahan diri kita dan tidak memaksa diri kita untuk terus maju dalam menghadapi suatu tantangan atau keinginan. Kita harus bisa membuka diri kita dan mengakui bahwa kita  tidak bisa lebih baik daripada alam. Satu hal yang penting kita tidak akan pernah bisa mengalahkan alam(gunung) tapi kita bisa sama dengan alam(gunung) jika kita memiliki pengorbanan yang besar.

Makna kematian menurutmu?

Dalam film Everest ada beberapa orang yang meninggal dalam perjalanan. Tapi saya melihat kematian mereka hal yang berbeda. Doug Hansen, Andy Harris, Yasuko Namba. Bagi saya kematian mereka sangat disayangkan karena mereka meninggal karena sikap mereka sendiri yang memaksakan diri sendiri. Kematian mereka sangat sia-sia. Berbeda dengan kematian Rob Hall ia meninggal karena ia bertanggung jawab terhadap keselamatan mereka. Bagi saya kematiannya merupakan  kematian yang terpuji karena mengorbankan nyawanya demi nyawa orang lain yang walaupun nyawa pendaki tersebut tidak dapat ditolong. Maka dari saya memaknai kematian bukan sebuah ketakutan, apabila selama hidup kita sudah melakukan hal-hal yang benar maka saat  kematian menghampiri kita sudah siap. Kematian merupakan suatu hidup yang baru dan hidup yang baru itu didapatkan jika kita selama hidup kita melakukan hal-hal yang baik demi hidup kita sendiri dan demi orang lain. Dengan kata lain selama hidup kita jangan melakukan hal-hal yang berdosa.

Mengapa pengorbanan hidup begitu berarti dalam kehidupan ini?

Dalam hidup pastinya semuanya memiliki pengorbanan dalam mencapai sesuatu. Pengorbanan akan menjadikan kita menjadi orang yang lebih maju. Apabila kita hanya berdiam dan tidak melakukan apa-apa pastinya kita tidak akan menjadi orang yang lebih baik. Terlihat dalam film Everest ketika Rob Hall mengatakan kepada Beck Weathers “Kamu membayarku, untuk membawamu turun dengan selamat ke bawah” mungkin Rob jika tidak melakukan hal itu, hidupnya tidak akan ada artinya apa yang telah dilakukan sekalipun dibayar mahal. Maka dari itu pengorbanan juga akan membuat kita lebih berarti. Jika kita tidak melakukan pengorbanan dalam hidup kita hanya sia-sia. Orang yang sukses itu merupakan orang yang memiliki pengorbanan yang besar dalam berbagai hal.

“Selalu ada kompetisi di antara orang-orang dan gunung, gununglah yang selalu menjadi pemenang” Anatoli Boukreev